Définition

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle I. Si \(f\) est dérivable en tout réel \(a\) de I, on dit que \(f\) est dérivable sur l'intervalle I.
La fonction qui à tout réel \(x\) de I associe le nombre dérivé \(f'(x)\) est appelée fonction dérivée de \(f\) (ou dérivée de \(f\)).
On la note \(f'\).

Fonctions dérivées des fonctions usuelles

Théorème

fonction	\(f\)	\(f'\)	\(f\) est dérivable sur
Constante	\(f(x)=k\) avec \(k\) un réel	\(f'(x)=0\)	ℝ
Identité	\(f(x)=x\)	\(f'(x)=1\)	ℝ
Affine	\(f(x)=ax+b\)	\(f'(x)=a\)	ℝ
Carré	\(f(x)=x^2\)	\(f'(x)=2x\)	ℝ
Cube	\(f(x)=x^3\)	\(f'(x)=3x^2\)	ℝ
Inverse	\(f(x)=\cfrac{1}{x}\)	\(f'(x)=\cfrac{-1}{x^2}\)	ℝ-{0}
Puissance	\(f(x)=x^n\) avec \(n\) ∈ ℕ*	\(f'(x)=nx^{n-1}\)	ℝ
Puissance négative	\(f(x)=\cfrac{1}{x^n}\) avec \(n\) ∈ ℕ*	\(f'(x)=\cfrac{-n}{x^{n+1}}\)	ℝ-{0}
Racine carrée	\(f(x)=\sqrt{x}\)	\(f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}\)	]0 ; +∞[

Démonstration à connaitre

Commentaire

• IL FAUT APPRENDRE CES FORMULES PAR COEUR.

Opération sur les dérivées

Dérivée d'une somme de deux fonctions

Propriété

Dérivée de u+v
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
La fonction somme u+v définie sur I par x → u(x)+v(x) est dérivable sur I et pour tout réel x on a :

\((u+v)'(x)=u'(x)+v'(x)\)
ou de manière simplifiée : \( (u+v)'=u'+v'\).

Exemple

Calculer la dérivée de la fonction \(f\) définie sur ℝ par \(f(x)=x^2+x\).
D'où la dérivée : \( f'(x)=2x+1\).

Dérivée d'un produit d'une fonction par un réel

Propriété

Dérivée de ku
Soient u et une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel.
La fonction ku définie sur I par x → k×u(x)+ est dérivable sur I et pour tout réel x on a :

\((ku)'(x)=ku'(x)\)
ou de manière simplifiée : \( (ku)'=ku'\).

Exemple

Calculer la dérivée de la fonction \(f\) définie sur ℝ par \(f(x)=3x^2\).
D'où la dérivée : \( f'(x)=3\times 2x=6x\).

Dérivée d'un produit de deux fonctions

Propriété

Dérivée de uv
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
La fonction produit uv définie sur I par x → u(x)×v(x) est dérivable sur I et pour tout réel x on a :

\((u\times v)'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)\)
ou de manière simplifiée : \( (uv)'=u'v+uv'\).

Démonstration à connaitre

Exemple

Calculer la dérivée de la fonction \(f\) définie sur ℝ par \(f(x)=x^2(3x+1)\).
On remarque que \(f\) est de la forme \(uv\) avec \(u(x)=x^2\) et \(v(x)=3x+1\).
Donc \(u'(x)=2x\) et \(v'(x)=3\).
D'où \(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x)(3x+1)+(x^2)\times 3=6x^2+2x+3x^2=9x^2+2x\).

Dérivée d'un quotient de deux fonctions

Propriété

Dérivée de \(\cfrac{u}{v}\)
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et v ne s'annulle pas sur I.
La fonction quotient \(\cfrac{u}{v}\) définie sur I par x → \(\cfrac{u(x)}{v(x)}\) est dérivable sur I et pour tout réel x on a :

\(\Bigl(\cfrac{u}{v}\Bigr)'(x)=\cfrac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{v^2(x)}\)
ou de manière simplifiée : \( \Bigl(\cfrac{u}{v}\Bigr)'=\cfrac{u'v-uv'}{v^2}\).

Exemple

Calculer la dérivée de la fonction \(f\) définie sur [1 ; 8] par \(f(x)=\cfrac{x^2}{3x+1}\).
On remarque que \(f\) est de la forme \(\cfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=x^2\) et \(v(x)=3x+1\).
Donc \(u'(x)=2x\) et \(v'(x)=3\).
D'où \(f'(x)=\cfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}=\cfrac{(2x)(3x+1)-(x^2)\times 3}{(3x+1)^2}=\cfrac{3x^2+2x}{(3x+1)^2}\).

Dérivée de la composée d'une fonction avec une fonction affine

Propriété

Dérivée de u(ax+b)
Soient I un intervalle et \(a\) et \(b\) deux réels. On appelle J l'interavelle des nombres \(ax+b\) lorsque \(x\) décrit l'intervalle I.
Si la fonction \(u\) est dérivable sur J, alors la fonction \(f\) définie sur I par x → \(u(ax+b)\) est dérivable sur I et pour tout réel x on a :

\(f'(x)=a\times u'(ax+b)\)
ou de manière simplifiée : \( (u(ax+b))'=au'(ax+b)\).

Exemple

Calculer la dérivée de la fonction \(f\) définie sur ℝ par \(f(x)=(2x+1)^3\).
On remarque que \(f\) est de la forme \(u(ax+b)\) avec \(u(x)=x^3, a=2\) et \(b=1\).
Donc \(a=2\) et \(u'(x)=3x^2\), on déduit que \(u'(2x+1)=3(2x+1)^2\).
D'où \(f'(x)=a\times u'(ax+b)=2\times 3(2x+1)^2=6(2x+1)^2\).