Conséquence : avec un raisonnement par l'absurde on montre que exp(x) ≠ 0.
On suppose qu'il existe un réel a tel que exp(a) = 0, alors exp(a)×exp(-a) = 0, or ceci contre-dit la propriété.
3.Propriétés algébriques
2.Notation \(e\)
1.Nombre \(e\) et notation \(e^x\)
Commentaire
Par convention, on décide de noter pour tout réel \(x\), \(exp(x)=e^x\).
2.Lien avec les suites géométriques
Démonstration
\(u_{n+1}=e^{a(n+1)}=e^{an+a}=e^{an}\times e^a=u_n\times e^a\)
Donc \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(e^a\).
3.Etude de la fonction exponentielle
1.Signe et sens de variation
Démonstration
Pour tout réel \(x\), \(e^x=e^{2\times \frac{x}{2}}=(e^{\frac{x}{2}})^2\).
Un carré est toujours positif donc \(e^x >0\)
Démonstration
\(exp'(x)=exp(x)=e^x >0\).
Donc la fonction exponentielle est croissante sur ℝ.
2.Représentation graphique
x = 1
Image de f
f(1) = 1
tableau de valeurs
Appuyer pour génèrer un tableau.
Conséquence
Le tableau de variations de la fonction exponentielle :