1. La fonction exponentielle

1. Définition

Propriété et définition (admis)

Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que :

f ' = f et f(0) = 1

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée exp.
Ainsi pour tout réel x, exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1.

Commentaires

L'existence de la fonction exponentielle est admise, mais peut être conjecturée à l'aide de la méthode d'Euler.

2. Propriété

Propriété

Pour tout réel x, on a exp(x)×exp(-x) = 1.
Conséquence : pour tout réel x, exp(x) ≠ 0.

Démonstration

On considére la fonction f définie pour tout réel x par f(x) = exp(x)×exp(-x).

• f'(x) = exp'(x)×exp(-x)+exp(x)×(exp(-x))' = exp(x)×exp(-x)+exp(x)×(-exp(-x)) = 0
• Donc f est constante.
• Donc f(x) = f(0) = exp(0)×exp(-0) = 1

Conséquence : avec un raisonnement par l'absurde on montre que exp(x) ≠ 0.
On suppose qu'il existe un réel a tel que exp(a) = 0, alors exp(a)×exp(-a) = 0, or ceci contre-dit la propriété.

3. Propriétés algébriques

Propriétés

Pour tout réel x et y et pour tout entier relatif n , on a :

• \(exp(-x)=\cfrac{1}{exp(x)}\)
• \(exp(x+y)=exp(x)\times exp(y)\)
• \(exp(x-y)=\cfrac{exp(x)}{ exp(y)}\)
• \(exp(nx)=(exp(x))^n\)

2. Notation \(e\)

1. Nombre \(e\) et notation \(e^x\)

Définition

L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée \(e\).
Ainsi exp(1) = \(e\).

Commentaire

Par convention, on décide de noter pour tout réel \(x\), \(exp(x)=e^x\).

Propriétés

Pour tout réel \(x\) et \(y\) et pour tout entier relatif \(n\), on a :

• \(e^{-x}=\cfrac{1}{e^x}\)
• \(e^{x+y}=e^x\times e^y\)
• \(e^{x-y}=\cfrac{e^x}{ e^y}\)
• \(e^{nx}=(e^x)^n\)

2. Lien avec les suites géométriques

Propriété

Pour tout réel \(a\), la suite \((u_n)\) définie par \(u_n=e^{an}\) est une suite géométrique.

Démonstration

\(u_{n+1}=e^{a(n+1)}=e^{an+a}=e^{an}\times e^a=u_n\times e^a\)
Donc \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(e^a\).

3. Etude de la fonction exponentielle

1. Signe et sens de variation

Propriété

La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.
Ainsi pour tout réel \(x\), on a \(e^x >0\).

Démonstration

Pour tout réel \(x\), \(e^x=e^{2\times \frac{x}{2}}=(e^{\frac{x}{2}})^2\).
Un carré est toujours positif donc \(e^x >0\)

Propriété

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Démonstration

\(exp'(x)=exp(x)=e^x >0\).
Donc la fonction exponentielle est croissante sur ℝ.

2. Représentation graphique

Conséquence

Le tableau de variations de la fonction exponentielle :

x	-∞		+∞
f(x)	0

3. Dérivée de la fonction \(f(x)=e^{ax+b}\)

Propriété

Soient \(a\) et \(b\) deux réels.
La fonction\(f\) définie sur ℝ par \(f(x)=e^{ax+b}\) est dérivable sur ℝ.
Et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=a\times e^{ax+b}\).

Exemple : la fonction f(x)=e^x

a = 1.0