Les vecteurs

Translations et vecteurs

Définition

Soient M et M' deux points distincts du plan.
La translation qui transforme M en M' associe à tout point N du plan, l'unique point N' tel que MM'N'N soit un parallélogramme.

Exemple

Vous pouvez déplacer les points rouges.

Définitions

La translation qui transforme M en M' est appelée la translation de vecteur \(\overrightarrow{MM'}\).
Le vecteur \(\overrightarrow{MM'}\) est défini par :

une direction : celle de la droite (MM') ;
un sens : de M vers M' ;
une longueur aussi appelée norme : la longueur MM'.

Commentaires

Lorsque M≠M', le vecteur \(\overrightarrow{MM'}\) est représenté par une flèche allant de M vers M'.
M est l'origine du vecteur \(\overrightarrow{MM'}\).
M' est l'extrémité du vecteur \(\overrightarrow{MM'}\).
Par convention, on appelle vecteur nul, noté \(\vec{0}\), tout vecteur dont l'origine et l'extrémité sont confondues, par exemple \(\overrightarrow{MM}\)
La translation de vecteur nul transforme tout point en lui-même.

Egalité de deux vecteurs

Définitions

Deux vecteurs non nuls \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
on écrit \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\).

Commentaires

Les droites (AB) et (CD) ont la même direction lorsqu'elles sont parallèles.
Si \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\) alors D est l'image de C par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
Exemple :

Théorème

Deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Commentaires

\(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\) équivaut à dire que [BC] et [AD] ont le même milieu.
On considère le vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
On peut tracer à partir de n'importe quel point du plan un vecteur égal à \(\overrightarrow{AB}\), par exemple \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{EF}\), \(\overrightarrow{GH}\), etc.
Tous ces vecteurs sont donc égaux. On peut alors utiliser une unique lettre pour caractériser ce vecteur : \(\vec{u}\) par exemple.
Ainsi \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\) = \(\overrightarrow{EF}\) = \(\overrightarrow{GH}\) = \(\vec{u}\).

Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{EF}\), \(\overrightarrow{GH}\) sont parfois appelés des représentants du vecteur \(\vec{u}\).

Somme de deux vecteurs

Définition

La somme de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le vecteur \(\vec{w}\) associé à la translation qui résulte de l'enchainement des translations de vecteur \(\vec{u}\) et de vecteur \(\vec{v}\).
on écrit \(\vec{w}\) = \(\vec{u}\) + \(\vec{v}\).

Exemples

Relation de Chasles

On considère trois points A, B et C. \(\overrightarrow{A\color{red}{B}}\) + \(\overrightarrow{\color{red}{B}\color{black}{C}}\) = \(\overrightarrow{AC}\).

Propriétés

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\), on a :

\(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\) ;
\(\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}\) ;
\((\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})\)

Définition

L'opposé d'un vecteur \(\vec{u}\) du plan est le vecteur , noté \(-\vec{u}\), tel que \(\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}\).
Un vecteur non nul et son opposé ont la même direction, la même norme, mais ont des sens contraires.

Commentaire

Pour tous points A et B, on a : \(\overrightarrow{AB}\)=\(-\overrightarrow{BA}\)

Produit d'un vecteur par un réel

Définition

Soient \(\overrightarrow{AB}\) un vecteur non nul et k un nombre réel non nul.
k\(\overrightarrow{AB}\) est le vecteur qui a :

la même direction que le vecteur \(\overrightarrow{AB}\), donc la direction de (AB) ;
le même sens que le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) si k > 0,
le sens contraire du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) si k < 0 ;
pour norme k×AB.

Pour tout réel k, on a : k\(\vec{0}\) = \(\vec{0}\).

Pour tout vecteur \(\vec{u}\), on a : 0×\(\vec{u}\) = \(\vec{0}\).

Exemples

Propriétés

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et tous réels \(k\) et \(k'\), on a :

\(k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}\) ;
\(k(\vec{u}-\vec{v})=k\vec{u}-k\vec{v}\) ;
\((k+k')\vec{u}=k\vec{u}+k'\vec{u}\) ;
\((kk')\vec{u}=k(k'\vec{u})\) ;
\(k\vec{u}=\vec{0}\) si et seulement si \(k=0\) ou \(\vec{u}=\vec{0}\).

Vecteurs colinéaires

Définition

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non nuls sont colinéaires lorsqu'il existe un réel \(k\) non nul tel que \(\vec{u}=k\vec{v}\).
"\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires" signifie donc qu'ils ont la même direction.
Le vecteur nul \(\vec{0}\) est colinéaire avec tous les vecteurs.

Propriété

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.

Exemples

Propriété

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.