Géométrie dans le plan

Configurations du plan

1. Configurations usuelles

Définition

la médiatrice d'un segment [AB] est la droite Δ perpendiculaire au segment [AB] passant par son milieu I.

Exemple

Vous pouvez déplacer les points rouges.
0,0
A
B
I
M
5.15
5.15

Définitions

La médiatrice Δ d'un segment [AB] est l'ensemble des points équidistants de A et de B.
Autrement dit, un point M appartient à Δ si, et seulement si, MA = MB.

2. Calculs de longueurs

Théorème de Pythagore et sa réciproque

Le triangle ABC est rectangle en A si, et seulement si, BC² = AB² + AC².

Exemple

Vous pouvez déplacer les points rouges.

0,0
A
B
C
3.00
4.00
5.00

Théorème de Thalès et sa réciproque

(BM) et (CN) sont deux droites sécantes en un point A.

Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors .
Réciproquement, si et si les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans le même sens, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Exemple

Vous pouvez déplacer les points rouges.
0,0
A
B
C
M
N

3. Tangente à un cercle

Définition

C est un cercle de centre O et A un point de ce cercle C.
La tangente au cercle C en A est la droite perpendiculaire en A à la droite (OA).

Commentaires

La tangente en A au cercle C coupe ce cercle au seul point A.
Exemple: vous pouvez déplacer les points rouges.
0,0
O
A

Projeté orthogonal

Définition

Le projeté orthogonal d'un point A sur une droite (BC) est le point H de (BC) tel que les droites (BC) et (AH) sont perpendiculaires.

Commentaires

Lorsque le point A appartient à la droite d, son projeté orthogonal sur d est le point A lui-même.
Exemple: vous pouvez déplacer les points rouges.

0,0
C
B
A
H
90°

Propriété

H désigne le projeté orthogonal d'un point A sur une droite d.
Pour tout point M de d, distinct de H, on a AH < AM.
On dit que AH est la distance du point A à la droite d.

Démonstration à connaitre

Commentaire

Le projeté orthogonal H de A sur la droite d est le point de d qui est le plus proche de A.

Trigonométrie dans le triangle rectangle

1. Cosinus, sinus et tangante d'un angle aigu

Définitions

Dans un triangle ABC rectangle en A.

$é é$
$é é é$
$é é é$

Commentaires

Pour se rappeler des formules de trigonométrie, on pense à SOHCAHTOA.
Il y a des valeurs à connaitre, par exemples ou

Avec la numworks

Avec la

2. Propriétés

Propriétés

ABC est un triangle rectangle en A et on note α la mesure en degré d'un angle aigu de ce triangle.

0< cos(α) < 1
0< sin(α) < 1
cos²(α) + sin²(α) = 1

Démonstration à connaitre

Cercle circonscrit d'un triangle

Théorème

ABC est un triangle.
Les médiatrices des segments [AB], [AC] et [BC] sont concourantes en un point O appelé centre du cercle circonscrit du triangle ABC.

Démonstration à connaitre

Exemple

0,0
–o+←↓↑→
A
B
C
M_c
M_a
M_b
O

Théorème

ABC est un triangle rectangle en A.
Le centre du cercle circonscrit du triangle ABC est le milieu de l'hypoténuse [BC].