Soit O un point du plan.
On considère h l'homothétie de centre O et da rapport k=2.
1. Recopier les points suivants.
Tracer les images A', B', C' et D' des points A, B, C et D par l'homothétie h.
Voir la solution
La solution
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2. Soient I, J et K trois points alignés.
Montrer que les images I', J' et K' de I, J et K par h sont aussi alignés Voir la solution
La solution
I, J et K sont trois points alignés, donc les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IK}\) sont colinéaires.
Il existe donc un nombre k tel que \(\overrightarrow{IJ}=k\overrightarrow{IK}\)
I', J' et K' sont les images de I, J et K par h donc :
\(\overrightarrow{OI'}=2\overrightarrow{OI}\), \(\overrightarrow{OJ'}=2\overrightarrow{OJ}\) et \(\overrightarrow{OK'}=2\overrightarrow{OK}\)
d'où,
\(\overrightarrow{I'J'}=\overrightarrow{I'O}+\overrightarrow{OJ'}=2\overrightarrow{IO}+2\overrightarrow{OJ}=2(\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OJ})=2\overrightarrow{IJ}\)
et
\(\overrightarrow{I'K'}=\overrightarrow{I'O}+\overrightarrow{OK'}=2\overrightarrow{IO}+2\overrightarrow{OK}=2(\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OK})=2\overrightarrow{IK}\)
Finalement
\(\overrightarrow{I'J'}=2\overrightarrow{IJ}=2k\overrightarrow{IK}=k(2\overrightarrow{IK})=k\overrightarrow{I'K'}\)
Les vecteurs \(\overrightarrow{I'J'}\) et \(\overrightarrow{I'K'}\) sont colinéaires, donc I', J' et K' sont alignés.
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3. Soient M et N deux points.
Les images par h de M et N sont M' et N', montrer que (MN) et (M'N') sont parallèles. Voir la solution
La solution
M' et N' sont les images de M et N par h donc :
\(\overrightarrow{OM'}=2\overrightarrow{OM}\) et \(\overrightarrow{ON'}=2\overrightarrow{ON}\).
d'où,
\(\overrightarrow{M'N'}=\overrightarrow{M'O}+\overrightarrow{ON'}=2\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{ON}=2(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON})=2\overrightarrow{MN}\)
Donc les vecteurs \(\overrightarrow{M'N'}\) et \(\overrightarrow{MN}\) sont colinéaires, donc les droites (MN) et (M'N') sont parallèles.
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Partie 2
Soit O un point du plan.
On considère h l'homothétie de centre O et da rapport k=\(-\frac{1}{2}\).
1. Recopier les points suivants.
Tracer les images A', B', C' et D' des points A, B, C et D par l'homothétie h.
Voir la solution
La solution
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2. Soient I, J et K trois points alignés.
Montrer que les images I', J' et K' de I, J et K par h sont aussi alignés Voir la solution
La solution
I, J et K sont trois points alignés, donc les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IK}\) sont colinéaires.
Il existe donc un nombre k tel que \(\overrightarrow{IJ}=k\overrightarrow{IK}\)
I', J' et K' sont les images de I, J et K par h donc :
\(\overrightarrow{OI'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OI}\), \(\overrightarrow{OJ'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OJ}\) et \(\overrightarrow{OK'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OK}\)
d'où,
\(\overrightarrow{I'J'}=\overrightarrow{I'O}+\overrightarrow{OJ'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{IO}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OJ}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OJ})=-\frac{1}{2}\overrightarrow{IJ}\)
et
\(\overrightarrow{I'K'}=\overrightarrow{I'O}+\overrightarrow{OK'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{IO}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OK}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OK})=-\frac{1}{2}\overrightarrow{IK}\)
Finalement
\(\overrightarrow{I'J'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{IJ}=-\frac{1}{2}k\overrightarrow{IK}=k(-\frac{1}{2}\overrightarrow{IK})=k\overrightarrow{I'K'}\)
Les vecteurs \(\overrightarrow{I'J'}\) et \(\overrightarrow{I'K'}\) sont colinéaires, donc I', J' et K' sont alignés.
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3. Soient M et N deux points.
Les images par h de M et N sont M' et N', montrer que (MN) et (M'N') sont parallèles. Voir la solution
La solution
M' et N' sont les images de M et N par h donc :
\(\overrightarrow{OM'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OM}\) et \(\overrightarrow{ON'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{ON}\).
d'où,
\(\overrightarrow{M'N'}=\overrightarrow{M'O}+\overrightarrow{ON'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{MO}-\frac{1}{2}\overrightarrow{ON}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON})=-\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}\)
Donc les vecteurs \(\overrightarrow{M'N'}\) et \(\overrightarrow{MN}\) sont colinéaires, donc les droites (MN) et (M'N') sont parallèles.
