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Les règles de calcul : Démonstrations à connaitre

Pour a et b réels positifs, illustration géométrique de l'égalité a2 + 2ab + b2 =(a + b)2

Cette propriété est énoncée de la façon suivante dans le cours :

Propriétés Les identités remarquables

Pour tous nombres réels a et b, on a les relations suivantes :

\(\xrightarrow{\text{ on développe }}\)

\(\xleftarrow{\text{ on factorise }}\)

Commentaire

Nous allons nous intéresser seulement à la première identité remarquable.

Stratégie de la démonstration

Nous allons utiliser une figure géométrique et calculer l'aire de 2 façons :

Démonstration géométrique

a = 5

Les aires en fonctions de a et b

a = 5 et b = 15

Aire du grand carré = (a+b)2=202= 400

Aire du carré 1 = a2 = 52 = 25

Aire du carré 2 = b2 = 152 = 225

Aire du rectangle 1 = ab = 5 × 15 = 75

Aire du rectangle 2 = ba = 15 × 5 = 75

Somme des aires = a2 + ab + ba + b2 = 25 + 75 75 + 225

Donc (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2