Cette propriété est énoncée de la façon suivante dans le cours :
Nous allons utiliser la méthode: "Pour comparer A et B, on étudie le signe de A-B".
Pour éliminer les racines carrées, on aura besoin de la forme conjuguée :
- Réciproquement, l'expression conjuguée de \(\left(b-c\sqrt{a}\right)\) est \(\left(b+c\sqrt{a}\right)\).
L'idée de cette démonstration est d'étudier le signe de \((\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a+b}\) en utilisant son expression conjugée.
Etude du signe de \((\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a+b}\)
L'expression conjuguée de \((\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a+b}\) est \((\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{a+b}\)
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{a+b}\) est strictement positif et donc non nul car \(a\) et \(b\) sont strictement positifs.
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a+b}=\bigl((\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a+b}\bigr)\times\cfrac{\bigl((\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{a+b}\bigr)}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{a+b}}\)
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a+b}=\cfrac{\bigl((\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a+b}\bigr)\times\bigl((\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{a+b}\bigr)}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{a+b}}\)
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a+b}=\cfrac{\bigl(\sqrt{a}+\sqrt{b}\bigr)^2-\bigl(\sqrt{a+b}\bigr)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{a+b}}\)
En utilisant l'identité remarquable : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 et la propriété \(\sqrt{a}^2=a\):
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a+b}=\cfrac{\bigl(a+2\sqrt{a}\sqrt{b}+b\bigr)-\bigl(a+b\bigr)}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{a+b}}\)
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a+b}=\cfrac{a+2\sqrt{a}\sqrt{b}+b-a-b}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{a+b}}\)
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a+b}=\cfrac{2\sqrt{a}\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{a+b}}\)
Comme \(a\) et \(b\) sont strictement positifs, \(2\sqrt{a}\sqrt{b}\) est aussi strictement positif.
On a déjà montré que \((\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{a+b}\) est aussi strictement positif.
Donc \((\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a+b}\gt 0\)
Conclusion : \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\gt\sqrt{a+b}\)