Les règles de calcul : Démonstrations à connaitre
Si a et b sont des réels strictement positifs, √ a + b < √ a + √ b
Cette propriété est énoncée de la façon suivante dans le cours :
Vérifions sur des exemples
- et et donc .
- et et donc .
Ces exemples permettent de tester, mais en aucun cas n'ont valeur de démonstration, il faudrait pour cela tester
tous les nombres.
Stratégie de la démonstration
Nous allons utiliser la méthode: "Pour comparer A et B, on étudie le signe de A-B".
Pour éliminer les racines carrées, on aura besoin de la forme conjuguée :
Commentaires
- Réciproquement, l'expression conjuguée de est .
L'idée de cette démonstration est d'étudier le signe de en utilisant son expression conjugée.
La démonstration
Etude du signe de
L'expression conjuguée de est
est strictement positif et donc non nul car et sont strictement positifs.
En utilisant l'identité remarquable : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 et la propriété :
Comme et sont strictement positifs, est aussi strictement positif.
On a déjà montré que est aussi strictement positif.
Donc
Conclusion :
