Les règles de calcul

Les règles de priorités

Propriétés

Pour réaliser un calcul, on doit respecter l'ordre suivant :

Les parenthèses ;
Les puissances ;
Les multiplications et divisions ;
Les additions et soustractions.

Commentaires

Dans le calcul : 3 - 2 + 7, il n'y a que des additions et soustractions donc pas de priorités. On fait donc les calculs normalement (dans le sens de la lecture):
3 - 2 + 7 = 1 + 7 = 8

Les fractions

Propriétés

Pour tous nombres \(a\), \(b\) et \(k\) avec \(b\neq 0\) et \(k\neq 0\):

\(\cfrac{a}{b}=\cfrac{a\times k}{b\times k}\)
\(\cfrac{a}{b} = \cfrac{a\div k}{b\div k}\)

Pour tous nombres \(a\), \(b\) et \(d\) avec \(d\neq 0\):

\(\cfrac{a}{d}+\cfrac{b}{d}=\cfrac{a+b}{d}\)
\(\cfrac{a}{d}-\cfrac{b}{d}=\cfrac{a-b}{d}\)

Pour tous nombres \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) avec \(b\neq 0\) et \(d\neq 0\):

\(\cfrac{a}{b}\times \cfrac{c}{d}=\cfrac{a\times c}{b\times d}\)
\(\cfrac{a}{b}\times c=\cfrac{a\times c}{b}\)

Pour tous nombres \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) avec \(b\neq 0\), \(c\neq 0\) et \(d\neq 0\):

\(\cfrac{a}{b}\div \cfrac{c}{d}=\cfrac{a}{b}\times \cfrac{d}{c}=\cfrac{a\times d}{b\times c}\)
\(\cfrac{1} {\cfrac{c}{d}}=\cfrac{d}{c}\)

Exemples

Avec la numworks

Avec la

Les racines carrées

Définition

Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs.
La racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre \(b\), tel que \(b^2=a\).

Commentaire

Pour tout réel positif \(a\), on a donc \(\left(\sqrt{a}\right)^2=a\).

Définition-propriété

Soient \(a\) un réel positif, \(b\) et \(c\) deux réels.
L'expression conjuguée de \(\left(b+c\sqrt{a}\right)\) est \(\left(b-c\sqrt{a}\right)\).

On a : \(\left(b+c\sqrt{a}\right)\left(b-c\sqrt{a}\right)=b^2-c^2a\)

Commentaires

Réciproquement, l'expression conjuguée de \(\left(b-c\sqrt{a}\right)\) est \(\left(b+c\sqrt{a}\right)\).
On utilise l'expression conjuguée pour supprimer une racine carrée.
En particulier : l'expression conjuguée de \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) est \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) et \((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b\).
Par exemple : \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{1\times \left(1-\sqrt{2}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)\times \left(1-\sqrt{2}\right)}=\frac{1-\sqrt{2}}{1^2-2}=\sqrt{2}-1\).

Propriétés

Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs,
\(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\).

Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs avec \(b\neq 0\),
\(\sqrt{\cfrac {a}{b}}=\cfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).

Démonstration à connaitre

Exemples

Avec la numworks

Avec la

Propriété

Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs,
\(\sqrt{a+b}\lt\sqrt{a}+\sqrt{b}\).

Démonstration à connaitre

Les puissances

Définitions

Soient \(a\) un nombre réel et \(n\) un entier naturel.

Si \(n=0\) et \(a\neq 0\), alors \(a^0=1\).
Si \(n=1\), alors \(a^1=a\).
Si \(n\geqslant 2\), alors \(a^n=\underbrace{a\times a\times \cdots\times a}_{n\text{ fois}}\)
Si \(n\geqslant 1\), alors \(a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}\)

Commentaires

\(0^n=0\) si \(n \neq 0\).
\(1^n=1\) pour tout entier \(n\).

Propriétés

Soient \(a\) et \(b\) deux réels non nuls , \(n\) et \(p\) deux entiers relatifs.

\(a^n\times a^p=a^{n+p}\).
\(a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}\).
\(({a^n})^p=a^{n\times p}\).
\((a\times b)^n=a^n\times b^n\).
\(\left(\cfrac{a}{b}\right) ^n=\cfrac{a^n}{b^n}\).

Avec la numworks

Avec la

Le calcul littéral

Propriétés Distributivité

Pour tous nombres réels a, b, c, d et k, on a les relations suivantes :

\(\xrightarrow{\text{ on développe }}\)

k(a + b) = ka + kb ;
k(a - b) = ka - kb ;
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

\(\xleftarrow{\text{ on factorise }}\)

Commentaires

L'action de développer consiste à supprimer les parenthèses.
Pour factoriser, on cherche un facteur commun.

Propriétés Les identités remarquables

Pour tous nombres réels a et b, on a les relations suivantes :

\(\xrightarrow{\text{ on développe }}\)

(a + b)² = a² + 2ab + b² ;
(a - b)² = a² - 2ab + b² ;
(a + b)(a - b) = a² - b².

\(\xleftarrow{\text{ on factorise }}\)

Commentaires

Développer (x + 1)² : (x + 1)² = x² + 2x + 1.
factoriser x² - 4 : x² - 4 = x² - 2² = (x + 2)(x - 2)

Propriété Calcul fractionnaire

Soient \(A(x)\), \(B(x)\), \(C(x)\) et \(D(x)\) avec \(C(x)\) et \(D(x)\) ne s'annulent pas.

\(\cfrac{A(x)}{B(x)}+\cfrac{C(x)}{D(x)}=\cfrac{A(x)\times D(x)+B(x)\times C(x)}{B(x)\times D(x)}\).