Avec \(a=4\) et \(b=7\), on a : \(\frac{a+b}{2}=\frac{4+7}{2}=5,5\)
Avec \(a=2\) et \(b=8\), on a : \(\frac{a+b}{2}=\frac{2+8}{2}=5\)
Exemples
Avec \(a=4\) et \(b=7\), on a : \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{4\times 7}=2\sqrt{7}\)
Avec \(a=2\) et \(b=8\), on a : \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{2\times 8}=\sqrt{16}=4\)
Soient deux nombres réels positifs \(a\) et \(b\).
1. Montrer que si \(a=b\), alors la moyenne arithmétique de \(a\) et \(b\) est égale à la moyenne géométrique de \(a\) et \(b\). Voir la solution
La solution
Si \(a=b\) alors \(\cfrac{a+b}{2}=\cfrac{a+a}{2}=\cfrac{2a}{2}=a\).
Si \(a=b\) alors \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a\times a}=\sqrt{a^2}=|a|=a\). Conclusion : la moyenne arithmétique de \(a\) et \(b\) est bien égale à la moyenne géométrique de \(a\) et \(b\).
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2. Comparer la moyenne arithmétique de \(a\) et \(b\) et la moyenne géométrique de \(a\) et \(b\). Voir la solution
La solution
Calculons \(\cfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\).
Si \(a=0\) et \(b=0\).
alors les moyennes arithmétique et géométrique sont égales (elles valent 0).
Si \(a\neq 0\) ou \(b\neq 0\).
\(\cfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\cfrac{(\cfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab})(\cfrac{a+b}{2}+\sqrt{ab})}{\cfrac{a+b}{2}+\sqrt{ab}}\), car \(\cfrac{a+b}{2}+\sqrt{ab}\neq 0\)
\(\cfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\cfrac{(\cfrac{a+b}{2})^2-(\sqrt{ab})^2)}{\cfrac{a+b}{2}+\sqrt{ab}}=\cfrac{\cfrac{(a+b)^2}{2^2}-ab}{\cfrac{a+b}{2}+\sqrt{ab}}=\cfrac{\cfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\cfrac{4ab}{4}}{\cfrac{a+b}{2}+\sqrt{ab}}=\cfrac{\cfrac{a^2-2ab+b^2}{4}}{\cfrac{a+b}{2}+\sqrt{ab}}=\cfrac{\cfrac{(a-b)^2}{4}}{\cfrac{a+b}{2}+\sqrt{ab}}\)
\(\cfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\) a le même signe que \((a-b)^2\) car \(\cfrac{a+b}{2}+\sqrt{ab}\gt 0\)
\((a-b)^2=0\) lorsque \(a=b\). Sinon \((a-b)^2 \gt 0\).
Donc si \(a\neq b\), \(\cfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\gt 0\) c'est à dire : \(\cfrac{a+b}{2}\gt \sqrt{ab}\)
Conclusion : Si \(a=b\), la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique sont égale. Sinon la moyenne arithmétique est la plus grande.
