Les règles de calcul : Démonstrations à connaitre

Quels que soient les réels postitifs a et b, on a √ ab =√ a √ b

Cette propriété est énoncée de la façon suivante dans le cours :

Propriété

Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs,
\(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\).

Vérifions sur des exemples

\(\sqrt{4\times 9}=\sqrt{36}=6\) et \(\sqrt{4}\times \sqrt{9}=2\times 3=6\).
\(\sqrt{2\times 5}=\sqrt{10}\approx 3,16..\) et \(\sqrt{2}\times \sqrt{5}\approx 3,16..\).

Ces exemples permettent de tester, mais en aucun cas n'ont valeur de démonstration, il faudrait pour cela tester tous les nombres.

Stratégie de la démonstration

Nous allons utiliser la définition du cours (en remplaçant \(a\) et \(b\) par \(x\) et \(y\)) et son commentaire :

Définition

Soient \(x\) et \(y\) deux réels positifs.
La racine carrée de \(x\), notée \(\sqrt{x}\), est le nombre \(y\), tel que \(y^2=x\).

Commentaire

Pour tout réel positif \(a\), on donc \(\left(\sqrt{a}\right)^2=a\).

L'idée est de faire le lien avec la définition de la racine carrée.

La démonstration

On pose \(y=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\), \(y\) est positif comme produit de deux nombres positifs.

\(y^2=(\sqrt{a}\times \sqrt{b})^2=(\sqrt{a}\times \sqrt{b})\times (\sqrt{a}\times \sqrt{b})=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\times \sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a}^2\times \sqrt{b}^2=a\times b\)

On pose \(x=a\times b\).

On a \(y^2=a\times b\). Donc \(y^2=x\) et \(y\ge 0\)

D'après la définition de la racine carrée, \(\sqrt{x}=y\).

D'où finalement, \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\)