Cette propriété est énoncée de la façon suivante dans le cours :
Nous allons utiliser la propriété du cours :
Donc l'idée est d'écrire n2 sous la forme 2K+1 avec K un entier.
n est impair, donc il existe un entier relatif k tel que n = 2k+1.
On cacule n2= (2k+1)2
n2 = (2k+1)2 = (2k)2 + 2×2k×1 + 12 = 4k2 + 4k + 1
On exprime n2 sous la forme 2K+1 où k est un entier.
n2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1.
On pose K = 2k2 + 2k.
On vérifie que K est un entier.
k est un entier relatif, donc par produit d'entiers relatifs 2k2 et 2k sont des entiers relatifs.
K = 2k2 + 2k est un entier relatif comme somme de deux entiers relatifs.
Donc n2 = 2K + 1 avec K un entier.
Conclusion : n2 est impair.
L'idée est d'utiliser le fait que si un nombre est impair alors son chiffre des unités est nécessairement 1, 3, 5, 7 ou 9.
La méthode consiste à faire une disjonction des cas (c'est-à-dire vérifier tous les cas possibles).
n est impair, alors le chiffre des unités de n est nécessairement 1, 3, 5, 7 ou 9.
Pour connaitre le chiffre des unités de n2, on utilise une propriété de la multiplication :
le chiffre des unités d'un produit de 2 nombres est le chiffre des unités du produit des chiffres des unités de ces 2 nombres.
D'où le tableau suivant :
| chiffre des unités de n | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
| chiffre des unités de n2 | 1 | 9 | 5 | 9 | 1 |
Donc n2 a pour chiffre des unités 1, 5 ou 9.
Conclusion : n2 est impair.