L'histoire de π

Un des nombres les plus anciens est le nombre π. Les approximations de sa valeur approchée ont évolué au cours du temps :

• -2000 av JC avec les babylonniens :
• -1600 av JC avec le papyrus de Rhind :
• -700 av JC en Inde avec Shatapatha Brahmana :
• -500 av JC en Grèce avec Archimède :
• 300 ap JC en Chine avec Zu Chongzhi :
• 500 ap JC en Inde avec Aryabhata :
• 1400 ap JC en Perse avec Al Kashi :
• 1500 ap JC en France avec Nicolas de Cuse :

1. Pour chaque approximation de π donner à l'aide de votre calculatrice, l'erreur de chaque mathématicien. Voir la solution

2. A la fin du XVII^e siècle, Leibnitz donne une approximation de la valeur de π.

2. a. Le début de son approximation est :

Donner les deux termes suivants sur les pointillés. Voir la solution

2. b. Donner une approximation de π à l'aide de votre calculatrice, puis l'erreur commise. Voir la solution

2. c. Combien de termes faut-il rajouter pour avoir une erreur de moins d'un centième. On pourra utiliser l'algorithme suivant :

def approxpi(p):
    d = 4
    for i in range(1,p+1):
        d=d+4*(-1)**i/(2*i+1)
    return d

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def approxpi(p):
    d = 4
    for i in range(1,p+1):
        d=d+4*(-1)**i/(2*i+1)
    return d
 
p=5
from math import *
while abs(approxpi(p)-pi)>0.01:
    p=p+1
print(p)
print(approxpi(p))

3. Euler en 1735 donne lui aussi une nouvelle appoximation de la valeur de π.

3. a. Donner les deux termes qui suivent .Voir la solution

3. b. Calculer la somme .Voir la solution

3. c. En déduire une approximation de π.Voir la solution