Un des nombres les plus anciens est le nombre π. Les approximations de sa valeur approchée ont évolué au cours du temps :
-2000 av JC avec les babylonniens : \(3+\cfrac{7}{60}+\cfrac{1}{120}\)
-1600 av JC avec le papyrus de Rhind : \(\cfrac{256}{81}\)
-700 av JC en Inde avec Shatapatha Brahmana : \(\cfrac{25}{8}\)
-500 av JC en Grèce avec Archimède : \(3+\cfrac{10}{71}\lt \pi \lt 3+\cfrac{1}{7}\)
300 ap JC en Chine avec Zu Chongzhi : \(\cfrac{355}{116}\)
500 ap JC en Inde avec Aryabhata : \(\cfrac{62832}{20000}\)
1400 ap JC en Perse avec Al Kashi : \(\cfrac{1}{2} \left(6+\cfrac{16}{60}+\cfrac{59}{60^2}+\cfrac{26}{60^3}+...\right)\)
1500 ap JC en France avec Nicolas de Cuse : \(\cfrac{3}{4}\left(\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)\)
1. Pour chaque approximation de π donner à l'aide de votre calculatrice, l'erreur de chaque mathématicien.
Voir la solution
La solution
-2000 av JC avec les babylonniens : \(3+\cfrac{7}{60}+\cfrac{1}{120}\approx 3,1249\) soit une erreur de moins de 2 centièmes.
-1600 av JC avec le papyrus de Rhind : \(\cfrac{256}{81}\approx 3,1605\) soit une erreur de moins de 2 centièmes.
-700 av JC en Inde avec Shatapatha Brahmana : \(\cfrac{25}{8}\approx 3,125\) soit une erreur de moins de 2 centièmes.
-500 av JC en Grèce avec Archimède : \(3+\cfrac{10}{71}\lt\approx 3,1408 \pi \lt 3+\cfrac{1}{7}\approx 3,1428\)soit une erreur de moins de 2 millièmes.
300 ap JC en Chine avec Zu Chongzhi : \(\cfrac{355}{113}\approx 3,141593\) soit une erreur de moins de 3 dix-millionièmes.
500 ap JC en Inde avec Aryabhata : \(\cfrac{62832}{20000}\approx 3,1416\) soit une erreur de moins de 8 millionièmes.
1400 ap JC en Perse avec Al Kashi : \(\cfrac{1}{2} \left(6+\cfrac{16}{60}+\cfrac{59}{60^2}+\cfrac{26}{60^3}+...\right)\approx 3,141588\) soit une erreur de moins de 5 millionièmes.
1500 ap JC en France avec Nicolas de Cuse : \(\cfrac{3}{4}\left(\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)\approx 3,136155\) soit une erreur de moins de 6 millièmes.
masquer
2. A la fin du XVIIe siècle, Leibnitz donne une approximation de la valeur de π.
2. b. Donner une approximation de π à l'aide de votre calculatrice, puis l'erreur commise. Voir la solution
La solution
\(\cfrac{\pi}{4}\approx 1-\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}-\cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{9}-\cfrac{1}{11}=\cfrac{2578}{3465}\approx 0,74401\).
\(\pi\approx 2,9768\) soit une erreur de moins de 2 dixièmes. masquer
2. c. Combien de termes faut-il rajouter pour avoir une erreur de moins d'un centième. On pourra utiliser l'algorithme suivant :
def approxpi(p):
d = 4
for i in range(1,p+1):
d=d+4*(-1)**i/(2*i+1)
return d
Accéder à la console
Voir la solution
La solution
def approxpi(p):
d = 4
for i in range(1,p+1):
d=d+4*(-1)**i/(2*i+1)
return d
p=5
from math import *
while abs(approxpi(p)-pi)>0.01:
p=p+1
print(p)
print(approxpi(p))
On trouve que la somme contient au moins 99 termes.
masquer
3. Euler en 1735 donne lui aussi une nouvelle appoximation de la valeur de π.
La formule d'Euler : \(\cfrac{\pi^2}{6}=1+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{9}+\cfrac{1}{16}\space ...\space ...\space ...\space ...\)
3. a. Donner les deux termes qui suivent \(\cfrac{1}{16}\).Voir la solution
