Géométrie plane : Démonstrations à connaitre

Le projeté orthogonaldu point M sur une droite Δ est le point de la droite Δ le plus proche du point M.

Cette propriété est énoncée de la façon suivante dans le cours :

Propriété

H désigne le projeté orthogonal d'un point A sur une droite d.
Pour tout point M de d, distinct de H, on a AH < AM.
On dit que AH est la distance du point A à la droite d.

Illustration graphique

Vous pouvez déplacer le point rouge.

Stratégie de la démonstration

Nous sommes en présence d'un triangle rectangle AHM, on pense tout de suite au théorème de Pythagore.

Démonstration

Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle AMH rectangle en H.

AM² = AH² + MH²

Comme M est distinct de H, MH² > 0.

Donc AH² + MH² > AH² + 0.

Donc AM² > AH²

Donc AM² - AH² > 0

Donc (AM - AH)(AM + AH) > 0

Une distance étant toujours positive et comme M est distinct de A et H, AM + AH > 0. On peut donc simplifier par AM + AH.

Donc AM - AH > 0

Conclusion : AM > AH.