le but de cet exercice est de démontrer le théorème :
1. Tracer :
un triangle ABC non plat,
la droite (d1) parallèle à la droite (BC) passant par A,
la droite (d2) parallèle à la droite (AC) passant par B,
la droite (d3) parallèle à la droite (AB) passant par C.
On note E le point d'intersection des droites (d1) et(d2), F le point d'intersection des droites (d1) et(d3) et G le point d'intersection des droites (d2) et(d3).
Voir la solution
La solution
Vous pouvez déplacer les points rouges.
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2. Démontrer que le quadrilatère AEBC est un parallélogramme. Voir la solution
La solution
la droite (d1) est parallèle à la droite (BC), donc (BC) et (AE) sont parallèles,
la droite (d2) est parallèle à la droite (AC), donc (AC) et (EB) sont parallèles.
Le quadrilatère AEBC a ses côtés opposés parallèles, donc c'est un parallélogramme.
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De même on pourra démontrer que AFCB et ABGC sont des parallélogrammes.
3. En déduire que la point A est le milieu de [EF]. Voir la solution
La solution
AEBC est un parallélogramme, donc ses côtés opposés ont la même longueur : AE = BC.
AFCB est un parallélogramme, donc ses côtés opposés ont la même longueur : AF = BC.
A, E et F sont alignés et AE=AF, donc A est le milieu de [EF].
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De même on pourrait démontrer que B est le milieu [EG] et C celui de [FG] .
4. Justifier que la hauteur issue de A dans le triangle ABC est également la médiatrice du segment [EF]. Voir la solution
La solution
Dans le triangle ABC, (h) la hauteur issue de A est la droite perpendiculaire à (BC) passant par A.
Les droites (EF) et (BC) sont parallèles, donc (h) est aussi perpendiculaire à (EF) et passe par A son milieu. (h) est la médiatrice de [EF].
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De même on pourrait démontrer que les hauteurs issues de B et C dans le triangle ABC sont aussi les médiatrices de [EG] et [FG].
5. En déduire que les 3 hauteurs du triangle ABC sont concourantes. Voir la solution
La solution
Les hauteurs du triangle ABC sont les médiatrices du triangle EFG. d'après un théorème du cours on sait que les médiatrices se coupent en un même point.
Donc les hauteurs du triangle ABC sont bien concourantes.
