Géométrie plane : Démonstrations à connaitre

Cette propriété est énoncée de la façon suivante dans le cours :

Propriétés

ABC est un triangle rectangle en A et on note α la mesure en degré d'un angle aigu de ce triangle.

Nous sommes en présence d'un triangle rectangle, on pense tout de suite au théorème de Pythagore.

Et nous allons utiliser les formules de trigonométrie du cours :

Définitions

Dans un triangle ABC rectangle en A.

\(cos(\widehat{ABC})=\cfrac{\text{coté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\cfrac{AB}{BC}\)
\(sin(\widehat{ABC})=\cfrac{\text{coté opposé}}{\text{hypoténuse}}=\cfrac{AC}{BC}\)
\(tan(\widehat{ABC})=\cfrac{\text{coté opposé}}{\text{coté adjacent}}=\cfrac{AC}{AB}\)

Démonstration

Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A.

BC² = AB² + AC²

En divisant par BC² qui est non nul, on obtient :

\(\cfrac{BC^2}{BC^2}=\cfrac{AB^2}{BC^2}+\cfrac{AC^2}{BC^2}\)

\(1=\left(\cfrac{AB}{BC}\right)^2+\left(\cfrac{AC}{BC}\right)^2\)

Utilisons les formules de trigonométrie, en posant \(\widehat{ABC}=\alpha\)

On obtient : 1 = cos²(\(\alpha\)) + sin²(\(\alpha\))